一组数论的题目


标题: 一组数论的题目
qdylz
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QUOTE:
jymm2222011-3-1 08:21威望+2会做哦,还是用基础知识。
jymm2222011-3-1 08:21金钱+2会做哦,还是用基础知识。

你会了,我还不会。

真的有点不好意思做题了?







锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷锟斤拷: [数论] [题目]



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jymm222
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求证:可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数。

1996=4x499,题目变为:
求证:可以找到一个各位数字都是1的自然数,它是499的倍数。

如果有这个数,它除以499所得的商的末位数字一定是9(用于往前推算各位数字);它的头三位数字一定是222(用于暂停看看是否推算到头)。

商x499=商x(500-1)=商x500-商

[attach]305920[/attach]



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jiangying
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回复 #17 jymm222 的帖子

求证:可以找到一个各位数字都是1的自然数,它是499的倍数
这步想到了

后面没看懂


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jymm222 2011-3-1 15:07 金钱 +2 后来知道17楼这个方法行不通。
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jiangying
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1000/499余2
1000余20
10^n/499余2x10^(n-3)

这个我也想到了





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qdylz
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我昨晚用execl从个位开始凑了30多位也没有凑出来,花了1个多小时。而且这是一道六年级的题目,怎么可能给你那么多时间来凑呢?


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qdylz
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原帖由 jiangying 于 2011-3-1 12:06 发表
求证:可以找到一个各位数字都是1的自然数,它是499的倍数
这步想到了

后面没看懂

这步也想到了

春节前,用透支卡在超市给老婆买了个头饰,499元

结果银行连发了4次短信通知

我跟老婆说,坏了,花了接近2000元了。

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jymm222
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又走到一路,不知能行不。

各位数字都是1的数,一定有无限多个。
这无限多个数,除以499所得的余数(数学定义的余数)是有限的,余数为0~498的自然数。

那么,一定有某两个数,它们的余数相等,这两个数相减,得到一个新数111...1000...0。

余数相等的两个数相减,它们的差,好象是能被除数499整除的吧。

那么,这个新数的前面数字为1的部分(后面的0全部去掉),好象是能被除数499整除的吧。


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qdylz 2011-3-1 15:48 威望 +10 强大,这楼已经做出来了,只是我刚刚看 ...
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qdylz
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百度了一下,这个题目需要用到抽屉原理。

又百度抽屉原理如下:

抽屉原则


抽屉原则的常见形式


一,把n+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有两个物体。


二,把mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,一定存在一个抽屉中至少有m+1个物体。


三,把m1+m2++mn+k(k≥1)个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,那么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体,或在第二个抽屉里至少放入了m2+1个物体,……,或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体


四,把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中,有两种情况:①当n|m时(n|m表示n整除m),一定存在一个抽屉中至少放入了m/n物体;②当n不能整除m时,一定存在一个抽屉中至少放入了m/n+1个物体([x]表示不超过x的最大整数)


五,把无穷多个元素分成有限类,则至少有一类包含无穷多个元素。


注:背下来上面的几种形式没有必要,但应当清楚这些形式虽然不同,却都表示的一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中,往往抽屉原则考得不少,但一般不会很明显的让人看出来,构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说,题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词,就暗示着我们:要构造抽屉了。

这也是百度来的解法,仅供参考:

8.求证:可以找到一个各位数字都是4的自然数,它是1996的倍数。


解:1996÷4=499,下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数,它是499的倍数。


取500个数:1,11,111,……,111……1(500个1)。用499去除这500个数,得到500个余数A1,A2,A3,……,A500。由于余数只能取0,1,2,……,498这499个值,所以根据抽屉原则,必有2个余数是相同的,这2个数的差就是499的倍数,差的前若干位是1,后若干位是0:11……100……0。又499和10是互质的,所以它的前若干位由1组成的自然数是499人倍数,将它乘以4,就得到一个各位数字都是4的自然数,这是1996的倍数。



[ 本帖最后由 qdylz 于 2011-3-1 15:36 编辑 ]

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jiangying
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不知道怎么把抽屉原理和这道题联系其俩


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这楼解法不严谨,删了。

[ 本帖最后由 jymm222 于 2011-3-2 10:27 编辑 ]


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qdylz 2011-3-1 15:41 金钱 +10 yeah!23楼搜索的解法是有问题的,1、 ...
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jiangying
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搞不懂,不搞了





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看不懂那个503是怎么构建的,凭啥说那余数不能有重复的?


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qdylz 2011-3-1 15:50 金钱 +10 23楼搜索的解法是有问题的,1、111都是 ...
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回来和孩子谈起这个题目,发现我#25的解答是有纰漏的,还是得按前面的,换成求证111...1能被499整除,原因在qdylz 的#23有说明:“又499和10是互质的......”

绕了一大弯,还出了一纰漏,没经住表扬 ,今后还需脚踏实地,扎扎实实。

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学习一下,比较有难度

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(今天心情大好,来做几个题)

2、有一个三位数等于它的各位数字和的42倍,这个三位数是___。

42能被3整除,则这个三位数能被3整除,则它的各位数字和能被3整除,则这个三位数能被(3x3=)9整除,则它的各位数字和能被9整除,则这个三位数可能是42x9=378、42x18=756,只有42x18=756满足题目要求。

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